Pogressão Aritmética

Uma idéia brilhante

Conta-se que o alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) cursava o terceiro ano, com 9 anos de idade, quando determinou a fórmula para encontrar a soma dos termos de uma progressão aritmética.

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A fim de manter silêncio na sala de aula, o professor solicitou a seus alunos que fizessem a soma de todos os números de 1 a 100. Para surpresa do professor, Gauss obteve o resultado correto em poucos minutos, escrevendo simplesmente 5.050 no caderno, enquanto os outros alunos trabalhavam duramente, realizando a soma termo a termo.

         Para justificar a solução, Gauss escreveu a soma solicitada com as parcelas em ordem crescente e, depois, com as parcelas em ordem decrescente. Assim, explicou que a soma de 1 com 100, de 2 com 99, de 3 com 98 e assim por diante até a soma de 50 com 51 sempre é igual a 101. O que resultava em 50 parcelas de 101. Portanto, o resultado desejado era 50 x 101, ou seja, 5.050.

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         Gauss se tornou o maior matemático de sua época e um dos mais brilhantes de todos os tempos. Na situação descrita, o que ele fez foi calcular a soma dos termos da progressão aritmética (1, 2, 3, …, 100).

         Podemos notar que o procedimento de Gauss resulta na fórmula da soma dos n primeiros elementos de uma P.A.:

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